"..На сайте написано, что OBS Studio SW поддерживает только Windows 8 и старше. У нас стоит на Windows 7. Переустанавливать сейчас операционную систему нереально. Может еще есть какие-то варианты отдавать RTMP поток?..."
Да, можно с помощью Adobe Flash Media Live Encoder.